Рулет дэх цуврал үр дүнгийн магадлал
Нэг өнгө олон удаа дараалан буух нь түгээмэл. Гэхдээ энэ нь дараагийн эргэлтийн хувьд ямар ч утгагүй.
Таван улаан дараалан: 2.7%. Арван улаан: 0.074%. 200 эргэлттэй тоглолтод нэг өнгө зургаа дараалан буух нь хагасаас илүү тохиолддог.
Дараалсан алдагдал хэр олон тохиолддог вэ
Нэг тэгтэй хүрдэн дээрх тэнцүү төлбөртэй бооцоо 37 эргэлт тутмын 19-д нь хожигдоно. Мөр бүр тухайн цуврал эргэлтүүд бүгд хожигдох магадлал, мөн алдагдал бүрийн дараа бооцоогоо хоёр дахин нэмдэг Мартингейл тоглогч тухайн үед хэдийг алдсаныг харуулна.
| дараалсан алдагдал | магадлал | ойролцоогоор 1 тутмын | одоо хүртэлх алдагдал | дараагийн бооцоо |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
Магадлал нь тухайн нэг эргэлтээс эхлэн алдагдал бүрд 19/37-г өөрөөр нь үржүүлснээр гарна. Урт тоглолтын үеэр ийм цуврал эхэлж болох олон эргэлт байдаг учир нэг мөрийн тооцооллоос хавьгүй түгээмэл.
Нэг цуврал
Дараагийн k эргэлт бүгд улаанбооцооулаан18 улаан тоонд тавих тэнцүү төлбөртэй бооцоо. Францаар rouge.Бүтнээр унших → байх магадлалматематикмагадлалҮр дүн гарах боломж; 0-ээс 1, эсвэл 0%-аас 100% хүртэл илэрхийлнэ. Нэг тооны магадлал: 1/37 = 2.70%.Бүтнээр унших → нь (18/37)ᵏ. Хоёр: 23.7%. Тав: 2.7%. Арав: 0.074%, ойролцоогоор 1,350 тутмын 1. Хорь: 1.8 сая тутмын 1. Монте-Карлогийн рекорд болох хорин зургаа: 137 сая тутмын 1. Эдгээр нь тодорхой нэг эргэлтээс эхлэх тодорхой нэг цувралын магадлал бөгөөд бараг хэн ч яг ийм асуулт асуудаггүй.
Нэг тоглолтод
Хүмүүсийн үнэндээ асуудаг асуулт нь “Миний тоглолтын хаа нэгтээ k урттай цуврал гарах уу?” байдаг бөгөөд хариу нь (18/37)ᵏ-ээс хамаагүй өндөр. Учир нь 200 эргэлттэй тоглолт цуврал эхлэх бараг 200 боломж олгодог. Улаан эсвэл харбооцоохар18 хар тоон дээрх тэнцүү төлбөртэй бооцоо. Францаар: noir.Бүтнээр унших → нэг өнгө зургаа ба түүнээс олон дараалан буух нь 200 эргэлттэй тоглолтын ойролцоогоор 94%-д, найм ба түүнээс олон нь 47%-д, арав ба түүнээс олон нь 14%-д тохиолддог. Өнгийг урьдчилж нэрлэвэл магадлал ойролцоогоор 75%, 27%, 7% болж буурна. Оройжин суусан тоглогч орой бүр урт цуврал харна.
Мартингейлд яагаад хамаатай вэ
Сөрөг дэвшилтэт бооцоололстратегидэвшилтэт бооцоололӨмнөх үр дүнд үндэслэн бооцооны дүнг өөрчилдөг аливаа дүрэм. Сөрөг дэвшилтэт бооцоолол алдагдлын дараа, эерэг нь хожлын дараа бооцоог нэмдэг.Бүтнээр унших → бүрийг таслах цувралын урт бий: $500 хязгаартай, $10-ын суурь бооцоотой бол зургаан хожигдол; ФибоначчистратегиФибоначчи1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… дарааллыг дагадаг дэвшилтэт бооцоолол: алдсаны дараа нэг алхам урагшилж, хожсоны дараа хоёр алхам ухарна.Бүтнээр унших →д арав; арван хоёрын бооцообооцооарван хоёрын бооцоо1–12, 13–24 эсвэл 25–36 дээрх бооцоо; 2:1 төлнө.Бүтнээр унших →г гурав нугалахад тав. Тэнцүү төлбөртэй бооцоонд зургаан удаа хожигдох магадлал (19/37)⁶ ≈ 1.8% нэг оролдлогод ногдоно. 200 эргэлттэй тоглолтод магадгүй 100 оролдлого багтах тул ийм тасралт ийм урттай таван тоглолтын ойролцоогоор дөрөвт нь гарна. Рулет дэх цувралуудын магадлал ийм тасрах цэг ховор биш байдгийн шалтгаан юм.
Халуун ба хүйтэн тоо
Адил тооцоо нэг тоон бооцообооцоонэг тоон бооцооНэг тоон дээр тавих бооцоо, 35:1 төлнө.Бүтнээр унших →нд үйлчилнэ. 300 эргэлтэд нэг тоонд ногдох хүлээгдэж буй тоо 8.1; стандарт хазайлтматематикстандарт хазайлтДисперсийн квадрат язгуур; үр дүн хүлээгдэж буй утгаасаа ердийн үед хэр хол зөрөхийг илэрхийлнэ.Бүтнээр унших → нь ойролцоогоор 2.8. Тоглолт бүрд зөвхөн тохиолдлоор л нэг тоо 15 удаа, нөгөө нь 2 удаа бууна. “Халуун” тоог онцолсон үр дүнгийн самбар хэвийн тархалтын дээд хэсгийг л онцолж байна. Нэг тодорхой хүрднээс хэдэн мянган эргэлтийн дараа л халуун тоотөөрөгдөлхалуун тооСүүлийн үед хүлээгдэж буйгаас олон гарсан тоо. Шударга хүрдэн дээр энэ нь юу ч таамаглахгүй.Бүтнээр унших → утгатай болдгийг Лаб тайлбарлана.
Бие даасан байдал нь гол зүйл
Арван улаан дараалан бууснаар харын магадлал өсөхгүй, улааны магадлал ч өсөхгүй. Хоёулаа 18/37 хэвээр. Цуврал нь санамсаргүй дарааллын шинж бөгөөд байхгүй бол сэжигтэй: 200 эргэлтэд дөрвөөс урт цувралгүй дараалал нь арван хоёрын цувралтай дарааллаас хөндлөнгөөс оролцсоны хавьгүй илүү хүчтэй нотолгоо болно.
Томьёо
Асуултууд
1913 оны наймдугаар сарын 18-нд Монте-Карлод 26 хар дараалан буусан нь алдартай тохиолдол. 1943 онд Америкийн нэг казинод 32 улаан дараалан буусныг мэдээлсэн. Казинод хэчнээн олон эргэлт явагддагийг бодвол хоёулаа тохиолдолд нийцнэ.
Аль аль нь 18/37. Төлөвлөгөөндөө зааснаар бооцоо тавь, эсвэл огт тавихгүй бай.
Үгүй. Хазайлт нь өнгөний цувралаар бус, хэдэн мянган эргэлтийн турш зарим нүхтоног төхөөрөмжнүхРотор дээрх 37 дугаарлагдсан тасалгааны нэг. Мөн үүр, хонхор гэж нэрлэнэ.Бүтнээр унших → бусдаасаа олон бууснаар илэрдэг.
Математикийн бодлогууд
Эхлээд өөрөө бодоод үзээрэй. Шийдэл бүр нууцлагдсан тул бэлэн болмогцоо нээнэ үү.
Европ рулетийн хүрдний бүх 37 тоо дор хаяж нэг удаа буух хүртэл дунджаар хэдэн эргэлт хэрэгтэй вэ?
Шийдлийг харуулах
Хариулт Дунджаар ойролцоогоор 155 эргэлт; медиан нь 147.
Шинэ тоо бүрийг хүлээх хугацааг нэг нэгээр нь тооцъё. Эхний эргэлт үргэлж шинэ тоо гаргана. 1 тоо харсан бол 37 нүхтоног төхөөрөмжнүхРотор дээрх 37 дугаарлагдсан тасалгааны нэг. Мөн үүр, хонхор гэж нэрлэнэ.Бүтнээр унших →ний 36 нь шинэ тул дараагийн шинэ тоо дунджаар 37/36 эргэлтийн дараа гарна. k тоо харсан үед 37/(37 − k) шаардлагатай.
Хүлээлтүүдийг нэмбэл: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5 эргэлт.
Ихэнх хүлээлт төгсгөлд ногдоно. Сүүлчийн ганц тоо дунджаар 37, сүүлчийн тав нь ойролцоогоор 85 эргэлт шаарддаг. Америк рулетийн хүрдэнд ижил нийлбэр ойролцоогоор 161 болно. Үүнийг купон цуглуулагчийн бодлого гэдэг; стандарт тооцоо ч ижил дунджийг өгнө.
Европ рулетийн хүрдний 37 эргэлтэд, нүх бүрт нэг эргэлт ногдуулбал, дунджаар хэдэн өөр тоо харна гэж хүлээх вэ?
Шийдлийг харуулах
Хариулт Ойролцоогоор 23.6. Тоонуудын гуравны нэг орчим, ойролцоогоор 13 нь огт буухгүй.
Жишээ нь 17 гэсэн нэг тоог авъя. Эргэлт бүрт буухгүй байх магадлал 36/37 учир 37 эргэлтэд огт буухгүй байх магадлал (36/37)³⁷ ≈ 0.363.
Тоолон ижил магадлалтай тул дунджаар 37 × 0.363 ≈ 13.4 тоо дутна, харин 37 − 13.4 ≈ 23.6 тоо бууна; тэдний олонх нь хоёр ба түүнээс олон удаа гарна.
Рулет тоглогчид үүнийг гуравны нэгийн хууль гэж нэрлэдэг. Гэвч энэ бол хууль биш, давталтын арифметик л юм: хүрдний хэмжээтэй тэнцэх цувралд тоонуудын гуравны нэг орчим нь, шударга рулетийн хүрдэнд ч бусад хүрдэнд ч, өнжинө. 38 нүхэнд (37/38)³⁸ ≈ 0.363 хэвээр; том хүрдэнд 1/e ≈ 0.368 орчимд тогтворжино.
Найз тань тэгхүрдтэгТэнцүү төлбөртэй, арван хоёрын, баганын аль ч бооцоонд хамрагддаггүй ганц ногоон нүх; казиногийн давуу талын эх үүсвэр. Мөн ганц тэг, 0 гэж нэрлэнэ.Бүтнээр унших →ийг хассан хүрднээс гарсан гэх 50 улаанбооцооулаан18 улаан тоонд тавих тэнцүү төлбөртэй бооцоо. Францаар rouge.Бүтнээр унших → эсвэл харбооцоохар18 хар тоон дээрх тэнцүү төлбөртэй бооцоо. Францаар: noir.Бүтнээр унших → өнгийн хоёр жагсаалт үзүүлэв. Нэг нь өнгөө 25 удаа сольж, хамгийн урт цуврал нь зургаа. Нөгөө нь 35 удаа сольж, гурваас урт цувралгүй. Аль нь зохиомол вэ?
Шийдлийг харуулах
Хариулт Хоёр дахь нь. Бодит жагсаалт ойролцоогоор 24 эсвэл 25 удаа өнгөө солино. 35 солилт 500 жагсаалт тутамд нэг орчим, харин гурваас урт цувралгүй байх нь 100 тутамд хоёр орчим тохиолдоно.
Шинэ өнгө өмнөхөө давтах эсвэл солих хоёрхон боломжтой, тус бүр хагас магадлалтай. Иймээс солих 49 боломжийн дундаж 24.5, хазайлт нь ойролцоогоор 3.5. Гучин тав нь дунджаас ийм гурван хазайлтаар их; шударга рулетийн хүрд ийм олон солилтыг 500 жагсаалт тутамд нэг орчим гаргана.
Цувралууд ч адил зүйлийг харуулна. 50 урттай бодит жагсаалт 98% орчим тохиолдолд дөрөв ба түүнээс урт цувралтай, хамгийн урт нь ихэвчлэн тав эсвэл зургаа байдаг.
Хүмүүс санамсаргүй жагсаалт зохиохдоо дөрөв, таван ижил өнгө дараалбал хээ мэт харагддаг тул өнгөө хэт олон сольдог. Taylor (2021) оюутнуудын зохиосон зоос шидэлтийн жагсаалтаас мөн энэ шинжийг харуулдаг: бодит санамсаргүй байдал хүмүүсийн бодсоноос илүү цувралтай.
Казино түүхийн номд нэг тоглогчийн тоо дараалан тав бууж, үүнийг дээд амжилт гэжээ. Европ рулетийн хүрдэнд энэ хэр ховор вэ? Мөн 20 ширээтэй, ширээ бүр цагт 40 удаа өдөр шөнөгүй эргэдэг нэг казиногийн хаа нэгтээ хэр олон тохиолдох вэ?
Шийдлийг харуулах
Хариулт Урьдчилан нэрлэсэн нэг тоо дараалан тав буух нь 69 саяд 1. Эхний тоо буусны дараа дурын тоо дахин дөрөв буух нь 1.87 саяд 1. Тэр казино жилд ойролцоогоор 7 сая эргэлт хийдэг тул жилд гурваас дөрвөн удаа тавын цуврал харах ёстой.
Нэрлэсэн тоо эргэлт бүрт 1/37 магадлалтай тул дараалан тав буух магадлал (1/37)⁵ = 69,343,957-д 1. Гэхдээ хэн ч тоог урьдчилан нэрлэдэггүй. Эхэлж буусан аль ч тоо дараагийн дөрвөн эргэлтэд давтагдах ёстой: (1/37)⁴ = 1,874,161-д 1.
20 ширээ × 40 эргэлт × 24 цаг × 365 өдөр = жилд 7,008,000 эргэлт. Эргэлт бүр цуврал эхлүүлж болох тул казино 7,008,000/1,874,161 ≈ жилд 3.7 тавын цуврал хүлээнэ.
Ийм төрлийн албан ёсны дээд амжилт байхгүй, байх ч шаардлагагүй: нэг ширээн дээр ховор зүйл бүх казино даяар ердийн тохиолдол болно, харин түүх нь болсон ширээний тухай яригддаг. Goldman (2007)-ийн түүх давхар тэгтэй рулетийн хүрд дээр өрнөдөг; тэнд 79 саяд 1, 2.09 саяд 1 байна.
Инээдмийн завсарлага
Урт цуврал гэдэг санамсаргүй байдал ямар харагддгийн нэг хэлбэр юм.
Эх сурвалж
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.