Дампуурах эрсдэл
Зорилгодоо хүрэхээс өмнө тоглоомын сангаа бүхэлд нь алдах магадлал.
Тэнцүү төлбөртэй бооцоонд дампуурах эрсдэл нь мөрийтэй тоглогчийн дампуурлын томьёог дагана. $500 тоглоомын сан, $10-ын бооцоо, $600-ын зорилготой бол та ойролцоогоор 57% тохиолдолд зорилгодоо хүрч, бусад үед нь дампуурна.
Асуулт
Танд нэгжмөнгөнэгжСистем эсвэл тоглогчийн ашигладаг суурь бооцооны дүн. Дэвшилтэт бооцооллыг аль ч ширээнд хэрэглэхийн тулд нэгжээр илэрхийлдэг.Бүтнээр унших →ээр илэрхийлсэн a нэгжийн тоглоомын санмөнгөтоглоомын санТоглоход зориулан тусад нь гаргасан нийт мөнгө. Тоглоомын сангийн удирдлага гэдэг нь бооцоо болон тоглолтын үе бүрд түүнээс хэдийг эрсдэлд оруулахаа шийдэхийг хэлнэ.Бүтнээр унших → бий бөгөөд та нэг удаад нэг нэгжээр тэнцүү төлбөртэй бооцообооцоотэнцүү төлбөртэй бооцооУлаан/хар, сондгой/тэгш, их/бага гэсэн бооцоо. 18 тоог хамарч, 1:1 төлнө.Бүтнээр унших →нд бооцоо тавин a + b нэгжид хүрэхийг хүсэж байна. Хожих магадлалматематикмагадлалҮр дүн гарах боломж; 0-ээс 1, эсвэл 0%-аас 100% хүртэл илэрхийлнэ. Нэг тооны магадлал: 1/37 = 2.70%.Бүтнээр унших → p = 18/37, хожигдох магадлал q = 19/37. Тэгт хүрэхээсээ өмнө зорилгодоо хүрэх магадлал хэд вэ? Энэ хариуг Паскаль, Ферма, Хюйгенс нар 1650-аад онд гаргасан бөгөөд магадлалын онолын хамгийн эртний үр дүнгийн нэг юм.
Мөрийтэй тоглогчийн дампуурлын томьёо
P(reach target) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Дампуурах эрсдэлматематикдампуурах эрсдэлЗорилтот дүн эсвэл эргэлтийн тоонд хүрэхээс өмнө тоглоомын сангаа бүхэлд нь алдах магадлал.Бүтнээр унших → нь үүнээс нэгийг хассан дүн юм. q/p = 19/18 ≈ 1.0556 үед энэ харьцаа нэгжийн тоогоор экспоненциал өснө. Тиймээс томьёо жижиг нэгжийг ихээхэн сул талд оруулдаг: зорилгод хүрэхэд олон бооцоо хэрэгтэй болох тусам замдаа 2.70%-ийн шимтгэлийг олон удаа төлнө.
Үүнийг унших нь
Жижиг нэгж хохироодог. $500-ыг $10-ын бооцоогоор хоёр дахин өсгөх оролдлого 6% тохиолдолд амжилттай болдог; харин ганц $500-ын бооцоогоор 48.6% байдаг. Эрсдэлтэй тоглолт, цөөн бөгөөд том бооцоо нь сөрөг хүлээгдэж буй утгатай тоглоомд зорилгод хүрэх магадлалыг хамгийн их болгодог. Учир нь давуу тал үйлчлэх тоог хамгийн бага болгодог. Гэхдээ энэ нь танд тохиолдох зүйлийн дисперсматематикДисперсҮр дүн хүлээгдэж буй утгын эргэн тойронд хэр өргөн тархаж байгааг хэмжих үзүүлэлт. Нэг тоон бооцоонд их, тэнцүү төлбөртэй бооцоонд бага.Бүтнээр унших →ийг мөн хамгийн их болгож, үдшийг хурдан дуусгана. Энэхүү теоремыг «эрсдэлтэй тоглолт оновчтой» гэдэг бөгөөд Дубинс, Саваж нар 1965 онд баталсан.
Асуудал хаанаас эхэлсэн бэ
Энэ асуулт рулетээс эртнийх. 1656 онд Паскаль Фермад нэгэн бодлого тавьсан: хоёр тоглогч тус бүр 12 жетонтойгоор гурван шоо шиднэ; 11 буувал нэг жетон нэг тоглогчийн зүг, 14 буувал нөгөөгийн зүг шилжинэ. Хоёул бодлогыг шийдсэн бөгөөд математикч Пьер де Каркавигийн захидлаар энэ тухай сонссон Хюйгенс 1657 онд магадлалын тухай анхны номын тав дахь бодлого болгон хариуг нь нотолгоогүйгээр хэвлүүлжээ. Арван нэг нь 27 янзаар, харин арван дөрөв нь дөнгөж 15 янзаар буух тул жетон бүр эхний тоглогчийн зүг 14 удаад 9 удаа шилжинэ. Дээрх томьёонд тус бүр 12 жетон тавихад тэрээр бүхнийг хожих нь бүхнийг алдахаасаа ойролцоогоор 1,157 дахин илүү магадлалтай гарна. 2.70%-ийн давуу тал хамаагүй бага ч, ижил томьёо олон бооцоонд юу хийдгийг харуулна.
Бодит эрсдэлтэй бооцоо
2004 оны дөрөвдүгээр сард Английн залуу Эшли Ревелл хувцсаа оролцуулан өөрт байсан бараг бүхнээ зараад $135,300-ыг Лас-Вегас дахь Плаза казинод авчирсан. Хэдэн жижиг бооцооны дараа тэр бүх мөнгөө улаанбооцооулаан18 улаан тоонд тавих тэнцүү төлбөртэй бооцоо. Францаар rouge.Бүтнээр унших → дээр нэг удаа тавьжээ. Бөмбөгтоног төхөөрөмжбөмбөгРоторын эргэлтийн эсрэг зам дагуу шиддэг жижиг бөмбөг. Орчин үеийн бөмбөгийг иворин эсвэл тефлоноор хийдэг бөгөөд 18–21 мм хэмжээтэй.Бүтнээр унших → улаан 7 дээр бууж, тэр $270,600-тай гарсан. Давхар тэгхүрдтэгТэнцүү төлбөртэй, арван хоёрын, баганын аль ч бооцоонд хамрагддаггүй ганц ногоон нүх; казиногийн давуу талын эх үүсвэр. Мөн ганц тэг, 0 гэж нэрлэнэ.Бүтнээр унших →тэй хүрд дээр энэ ганц эргэлтийн магадлал 47.37% байсан бөгөөд нэг бооцооны 5.26%-ийн давуу тал болох дунджаар $7,121 түүнд өртсөн. Ижил зорилгыг $10-ын бооцоонд хуваавал бараг найдваргүй болох байв. Эрсдэлтэй тоглолт бооцоог сайн болгодоггүй; аль болох богино л болгодог.
Зорилгогүй дампуурах эрсдэл
Хэрэв та зүгээр л дампууртлаа тоглох эсвэл N эргэлтийн дараа зогсох бол асуулт «миний тоглоомын сан N эргэлтийн дотор тэгт хүрэх магадлал хэд вэ?» болно. Ерөнхий N-ийн хаалттай хэлбэр байхгүй ч энэ сайтын симуляторууд үүнийг тооцоолдог. Улаан дээр $10-ын бооцоотой $500 тоглоомын сан 100 эргэлтэд бараг хэзээ ч дампуурдаггүй (1%-иас доош), 500 эргэлтэд ойролцоогоор 9% тохиолдолд, 5,000 эргэлтэд ойролцоогоор 95% тохиолдолд дампуурна. Зогсоох дүрэмгүй бол магадлал 100% руу дөхнө. Энэ нь казиногийн давуу талматематикказиногийн давуу талКазино нэг бооцооны дүнгээс дунджаар авч үлддэг хувь. Европ рулетэд 2.70% байна.Бүтнээр унших →ын урт хугацааны хувилбар юм.
- p10 −$500
- p25 −$500
- медиан −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Хэр удаан, хэр хол түрүүлэх вэ
Тоглогчдын бодитоор асуудаг асуултад өөр хоёр сонгодог үр дүн хариулдаг. Зорилгогүй үед Европ хүрдэн дээрх тэнцүү төлбөртэй тогтмол бооцоо нь тоглоомын сангийн нэгж тутамд дунджаар 37 эргэлт, Америк хүрдэн дээр 19 эргэлт үргэлжилнэ. Учир нь эргэлт бүр дунджаар нэгжийн 1/37-ыг (Америк хүрдэн дээр 1/19-ыг) авдаг: 100 нэгж дунджаар 3,700 эргэлт үргэлжилдэг ч ийм тоглолтын тал нь 3,134 эргэлтийн дотор дуусна (Тоглолтын үргэлжлэх хугацаа ба өртгийг үзнэ үү). Тоглоомын сан хэчнээн их байсан ч Европ хүрдэн дээр хэзээ нэгэн цагт k нэгжийн ашигт хүрэх магадлал (18/19)ᵏ байдаг. Нэг нэгжид 95%, арван нэгжид 58% боловч ямар ч их тоглоомын сан хэзээ нэгэн цагт 13 нэгжийн ашигт хүрэх тэнцүү магадлал өгөхгүй. Америк хүрдэн дээр магадлал (9/10)ᵏ бөгөөд 7 нэгжид хагасаас доошилно.
Тоглолтын үеийн үргэлжлэх хугацаа ба зардалАмерик рулетийн хүрд ба дүрэм
Тавин хувийн магадлалын тоглоомын сан
Асуултыг урвуулъя: бүхнээ алдахаасаа өмнө тодорхой дүн хожих дор хаяж тавин хувийн магадлалтай байхын тулд хэр их мөнгө авчрах ёстой вэ? Жижиг хожилд их биш. Харин их хожилд шаардагдах тоглоомын сан огцом өснө. Нэг цэгээс цааш ямар ч тоглоомын сан хангалтгүй. Учир нь төгсгөлгүй тоглоомын сан ч ийм их ашигт хэзээ нэгэн цагт хүрэх тавин хувийн магадлал өгөхгүй. Тейлор (2021) үүнийг өөрөөр тайлбарладаг: Америк хүрдэн дээр 100 нэгжид хүрэх тавин хувийн магадлалтай байхын тулд 94 нэгжээр эхэлж, 6 хожихын тулд 94-ийг эрсдэлд оруулах ёстой. Европ хүрдэн дээр 88 нэгж хэрэгтэй.
Практик сургамж
Юу хийхээ шийд. Зорилго нь тодорхой хожил бол томоор, цөөн бооцоо тавь. Зорилго нь урт үдэш бол бага бооцоо тавьж, давуу тал нийт бооцооны дүнмөнгөнийт бооцооны дүнТоглолтын үе эсвэл хугацаанд тавьсан нийт дүн; дахин боосон хожлыг мөн тооцно. Мөн эргэлт, бооцооллын идэвх гэдэг.Бүтнээр унших →гийн 2.70%-ийг авна гэдгийг хүлээн зөвшөөр. Хоёулаа зорилго бол аль нэгэнд нь буулт хийхээс өөр аргагүй бөгөөд ихэвчлэн зорилтот дүнгээсээ буулт хийдэг.
Томьёо
Асуултууд
МартингейлстратегиМартингейлАлдах бүрийн дараа бооцоогоо хоёр дахин нэмдэг дэвшилтэт бооцоолол. Юу хийж, юу хийдэггүйг Стратегийн хэсгээс үзнэ үү.Бүтнээр унших → богино тоглолтод үүнийг бууруулж, урт тоглолтод эрс өсгөнө. Илүү том нэгжээр тогтмол бооцоостратегитогтмол бооцооЭргэлт бүрд ижил дүнгээр бооцоо тавих арга. Бүх дэвшилтэт бооцооллыг үүнтэй харьцуулдаг.Бүтнээр унших → тавих нь бууруулах шударга арга юм.
Дээрх томьёо тэнцүү төлбөртэй бооцоонд хамаарна. Дисперс өндөр бооцоонд бага бооцооны дүнд дампуурах нь илүү магадлалтай, зорилгод ч жигд бус байдлаар хүрнэ; тооцоолуур ашиглана уу.
Зорилгын зүг хийх алхам бүр дампуурлын зүг хийх алхмаас бага зэрэг бага магадлалтай. Энэ харьцаа алхмын тоогоор давхарлан өснө.
Математикийн бодлогууд
Эхлээд өөрөө бодоод үзээрэй. Шийдэл бүр нууцлагдсан тул бэлэн болмогцоо нээнэ үү.
Танд $100 байна, $1,000 болгохыг хүсээд зөвхөн улаанбооцооулаан18 улаан тоонд тавих тэнцүү төлбөртэй бооцоо. Францаар rouge.Бүтнээр унших →д бооцоо тавна. Нэгдүгээр төлөвлөгөө: нэг удаад $1 тавих. Хоёрдугаар төлөвлөгөө: $500 давах хүртлээ байгаа бүхнээ тавиад, дараа нь $1,000 хүрэхэд яг хангалттайг тавих. Аль нь илүү дээр вэ, хэр ихээр?
Шийдлийг харуулах
Хариулт Хоёрдугаар төлөвлөгөө хол илүү. $1,000-д ойролцоогоор 9.0% тохиолдолд хүрнэ; энэ нь шударга тоглоомын 10%-д ойр. Эхний төлөвлөгөө 10²² тутамд ойролцоогоор 7 удаа амжилттай.
Шударга тоглоомматематикшударга тоглоомАль ч талд давуу тал байхгүй тоглоом: бооцоо бүрийн хүлээгдэж буй утга тэг байна.Бүтнээр унших →д юу ч хийсэн $100-оос $1,000-д арав тутамд нэг удаа хүрнэ. Учир нь мөнгөний тань дундаж үнэ $100 хэвээр байна.
Казиногийн давуу тал бооцоо бүрийн 2.70%-ийг авна. Иймээс нийтдээ бага бооцоо тавих тусам арав тутмын нэгтэй ойр үлдэнэ. Хоёрдугаар төлөвлөгөө цөөн бооцоогоор шийдэгдэнэ: $100 нь $200, $400, $800 болж, дараа нь $200 хангалттай. Ойролцоогоор 9.0% амжилттай. Эхний төлөвлөгөө алхалт дуусахаас өмнө хэдэн мянган бооцоо шаарддаг бөгөөд тус бүртээ бага ч гэсэн давуу тал бараг гарцаагүй дампуурал болж хуримтлагдана.
Энэ нь Dubins–Savage-ийн үр дүнгийн хамгийн энгийн хэлбэр (Epstein, 2013): казино давуу тоглоомд шаардлагатай хэмжээгээ аль болох цөөн удаа бооцоо болго.
Танд $500 байна, $1,000 болбол шууд зогсоно. Нэг төрлийн бооцоо сонгож, нэг удаа хожих эсвэл мөнгө дуусах хүртэл давтана. Аль төрөл нь хамгийн сайн боломж өгөх вэ?
Шийдлийг харуулах
Хариулт Улаанд нэг удаа $500 тавих: 48.6%. Мөнгөө жижиг бооцоонд хуваах аливаа төлөвлөгөө үүнээс муу.
Нэг хожил хангалттай байхаар бооцооны дүнг сонгоно: нэг тоон бооцообооцоонэг тоон бооцооНэг тоон дээр тавих бооцоо, 35:1 төлнө.Бүтнээр унших →д $30 тавибал $1,050, хоёр тоон бооцообооцоохоёр тоон бооцооЗэргэлдээ хоёр тоонд тавих бооцоо, 17:1 төлнө.Бүтнээр унших →д $60 тавибал $1,020 хожно гэх мэт. Дараа нь мөнгө дуусахаас өмнө дор хаяж нэг бооцоо хожих магадлалыг тооцно. Арван зургаан $30-ын нэг тоон бооцоо бүгд алдах магадлал (36/37)¹⁶ = 64.5% тул $1,000-д 35.5% тохиолдолд хүрнэ.
Хүснэгт бооцоо бүрийг үзүүлнэ. Улаан нь нэг бооцоогоор хүргэдэг учраас хамгийн сайн: казиногийн давуу талыг $500 дээр нэг л удаа төлнө. Зургаан тоон бооцообооцоозургаан тоон бооцооХажуугийн хоёр мөрийн зургаан тоонд тавих бооцоо, 5:1 төлнө. Францаар sixain.Бүтнээр унших → гуравхан удаа шаарддаг тул удаах байранд орно. Ганц арван хоёрын бооцообооцооарван хоёрын бооцоо1–12, 13–24 эсвэл 25–36 дээрх бооцоо; 2:1 төлнө.Бүтнээр унших → хамгийн муу, 12/37 магадлалтай; $1,000 буюу түүнээс их болтол $250-ын нэгжмөнгөнэгжСистем эсвэл тоглогчийн ашигладаг суурь бооцооны дүн. Дэвшилтэт бооцооллыг аль ч ширээнд хэрэглэхийн тулд нэгжээр илэрхийлдэг.Бүтнээр унших →ээр тавьсан ч 46.4% л хүрнэ.
Bollman (2024) Америк рулетийн хүрдэнд ижил хүснэгтийг гаргасан. Түүний арван хоёрын мөрөнд алдаа бий: 12/38 = 31.6% гэж байх ёстой.
бооцообооцооны дүн × бооцооны тоо$1,000 хүрэх магадлалНэг тоон бооцоо$30 × 1635.5%Хоёр тоон бооцоо$60 × 835.9%Мөрийн бооцоо$90 × 534.5%Булангийн бооцоо$125 × 436.7%Зургаан тоон бооцоо$166, $166, $16841.2%Арван хоёрын бооцоо$500 × 132.4%Улаан$500 × 148.6%Та улаанд нэгжээр, эргэлт дараалан, хэзээ ч дуусахгүй тоглоомын санмөнгөтоглоомын санТоглоход зориулан тусад нь гаргасан нийт мөнгө. Тоглоомын сангийн удирдлага гэдэг нь бооцоо болон тоглолтын үе бүрд түүнээс хэдийг эрсдэлд оруулахаа шийдэхийг хэлнэ.Бүтнээр унших →тай тавина. Эхний эргэлтийн дараа нэгжээр илүү эсвэл дутуу байна. Дахин яг тэнцэх магадлал хэд вэ?
Шийдлийг харуулах
Хариулт 37-д 36, 97.3%. Америк рулетийн хүрдэнд 38-д 36, 94.7%.
Эхний эргэлт хожвол (37-д 18) та нэгжээр илүү болно. Казиногийн давуу тал эцэсгүй үе бүрийг доош татдаг тул эрт орой хэзээ нэгэн цагт тэнцүү дундуур буцаж гарна: энэ нь гарцаагүй. Алдвал (37-д 19) нэгжээр ахих ёстой бөгөөд нэгжээр илүү болох магадлал 18/19 (дээрх хүснэгтийг үз).
Нийлбэр нь: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Ерөнхийдөө магадлал нь эргэлт хожих, алдах магадлалуудын зөрүүг 1-ээс хассантай тэнцэнэ: Европ рулетийн хүрдэнд 1 − 1/37, Америк рулетийн хүрдэнд 1 − 2/38. ТэгхүрдтэгТэнцүү төлбөртэй, арван хоёрын, баганын аль ч бооцоонд хамрагддаггүй ганц ногоон нүх; казиногийн давуу талын эх үүсвэр. Мөн ганц тэг, 0 гэж нэрлэнэ.Бүтнээр унших →гүй тоглоомд зөрүү байхгүй тул магадлал 1: дүн үргэлж тэнцүү рүү буцна. Epstein (2013) ерөнхий дүрмийг өгдөг.
Паскалийн 1656 оны бодлого: хоёр тоглогч тус бүр 12 жетонтой, гурван шоо шиднэ. 11 гарах бүрд эхний тоглогчид нэг жетон, 14 гарах бүрд хоёр дахь тоглогчид нэг жетон шилжинэ; бусад буулт тооцогдохгүй. Эхний тоглогч бүх 24-ийг хожих магадлал хэд вэ? Харин найзынхаа банкны эсрэг эргэлт бүрт улаанд 1 нэгж тавьж, тус бүр 12 нэгжтэй бол бүх 24-ийг хожих магадлал хэд вэ?
Шийдлийг харуулах
Хариулт Эхний тоглогч 1,158 тутмын 1,157 орчим удаа хожно. Та улаанд бүх 24 нэгжийг ойролцоогоор 34% тохиолдолд л хожно.
Гурван шоогоор 11 гарах 27, 14 гарах 15 арга бий. Тиймээс шилжих жетон бүр 42 удаад 27, өөрөөр хэлбэл 14-д 9 удаа эхний тоглогчид очно. Хоёулаа 12-оос эхэлбэл бүхнийг авах магадлал 1/(1 + r¹²), энд r нь нөгөө талын магадлалыг таныхтай харьцуулсан харьцаа.
Эхний тоглогчийн хувьд r = 5/9, (5/9)¹² ≈ 0.00086 тул магадлал ойролцоогоор 0.99914: 9¹²-ыг 5¹²-д харьцуулбал 282,429,536,481-ийг 244,140,625-д, ойролцоогоор 1,157:1. Huygens 1657 онд яг эдгээр тоог хэвлэсэн.
Улаанд r = 19/18, учир нь тэг бий; (19/18)¹² ≈ 1.913. Таны магадлал 1/2.913 ≈ 34.3%. Зоос 50% өгнө. Бооцоо бүрийн 2.70%-ийн давуу тал олон бооцооны турш 16 нэгж хувийн зөрүү үүсгэнэ.
Инээдмийн завсарлага
Эрсдэлтэй тоглолт оновчтой. Бас хурдан дуусдаг.
Эх сурвалж
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”