Бодлого: Ширээний хязгаар
$500-ын дээд хязгаартай ширээн дээрх $10-ын Мартингейл. Хэр олон удаа тасрах вэ, тасрахад хэр их алдах вэ, хязгаарыг өсгөвөл тус болох уу?
Зургаан дараалсан хожигдол үүнийг тасална: мөчлөг тутамд 1.8%, 100 эргэлтийн тоглолтын ойролцоогоор 60%-д. Тасрахад $630 алдана. Хязгаарыг $5,000 болговол тасралт ховор (мөчлөг тутамд 0.25%) ч илүү том ($5,110) болно. Ямар ч хязгаарт бооцоо тавьсан доллар тутмын хүлээгдэж буй алдагдал 2.70%.
Бодлого
Тоглогч улаанбооцооулаан18 улаан тоонд тавих тэнцүү төлбөртэй бооцоо. Францаар rouge.Бүтнээр унших → дээр $10 бооцоо тавьж, хожигдол бүрийн дараа хоёр дахин нэмээд, хожсоны дараа дахин эхэлнэ. Ширээний дээд хязгаар $500. (a) Дараалсан хэдэн хожигдол дэвшилтэт бооцоололстратегидэвшилтэт бооцоололӨмнөх үр дүнд үндэслэн бооцооны дүнг өөрчилдөг аливаа дүрэм. Сөрөг дэвшилтэт бооцоолол алдагдлын дараа, эерэг нь хожлын дараа бооцоог нэмдэг.Бүтнээр унших →-ыг таслах вэ? (b) Мөчлөг тутмын магадлалматематикмагадлалҮр дүн гарах боломж; 0-ээс 1, эсвэл 0%-аас 100% хүртэл илэрхийлнэ. Нэг тооны магадлал: 1/37 = 2.70%.Бүтнээр унших → хэд вэ? (c) Тасрахад хэд алдах вэ? (d) $5,000-ын хязгаар хариунуудыг яаж өөрчлөх вэ? (e) Ямар нэг хязгаар энэ системийг ашигтай болгох уу?
(a)–(c)-ийн шийдлүүд
Бооцооны дүн: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Долоо дахь нь 640 > 500 болох тул зургаан хожигдол үүнийг тасална. (b) Улаан дээр p(хожигдол) = 19/37; (19/37)⁶ = 0.0183, мөчлөг тутамд ойролцоогоор 1.8%. Мөчлөг дунджаар хоёр эргэлт үргэлжилдэг тул 100 эргэлтийн тоглолтод ойролцоогоор 50 мөчлөг байх ба p(дор хаяж нэг тасралт) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630 буюу мөчлөгийн зорьсон $10-ын хожлын эсрэг 63 суурь нэгжмөнгөнэгжСистем эсвэл тоглогчийн ашигладаг суурь бооцооны дүн. Дэвшилтэт бооцооллыг аль ч ширээнд хэрэглэхийн тулд нэгжээр илэрхийлдэг.Бүтнээр унших →.
(d)-ийн шийдэл
$5,000 үед: 2,560 хүртэлх бооцооны дүн зөвшөөрөгдөнө; арав дахь бооцоо болох 5,120 татгалзагдана. Есөн хожигдол үүнийг тасална: (19/37)⁹ ≈ мөчлөг тутамд 0.25%, 100 эргэлтийн тоглолтын ойролцоогоор 11%. Тасрах үеийн алдагдал: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. Тоглогч илүү том сүйрлийн үнээр илүү ховор сүйрлийг авсан. Олон тоглолтын турш тасралтын хүлээгдэж буй зардал нь $500-ын хязгаарт p × алдагдал ≈ 0.0183 × 630 = мөчлөг тутамд $11.5, $5,000-д 0.0025 × 5,110 = $12.8 байна; тоймлолтын алдааны хүрээнд ижил тоо бөгөөд энэ нь хожсон мөчлөгүүдийн олдог $10-ыг хассантай тэнцэх тухайн мөчлөгийн хүлээгдэж буй алдагдалматематикхүлээгдэж буй алдагдалХүлээгдэж буй утгыг нийт бооцоолсон дүнгээр үржүүлсэн хэмжээ; тоглолтын үе эсвэл хугацааны туршид дунджаар алдах дүн.Бүтнээр унших → юм.
(e)-ийн шийдэл
Үгүй. Мөчлөг тутмын хүлээгдэж буй алдагдал = (мөчлөг дэх нийт бооцооны дүнгийн хүлээгдэж буй утга) / 37; ямар ч хязгаарт, учир нь бооцоо бүр өөрийнхөө −1/37 байна. Хязгаар нь зөвхөн алдагдлыг олон жижиг хожил, цөөн том хожигдлын хооронд хэрхэн хуваарилахыг шийднэ. Хязгааргүй бөгөөд хязгааргүй тоглоомын санмөнгөтоглоомын санТоглоход зориулан тусад нь гаргасан нийт мөнгө. Тоглоомын сангийн удирдлага гэдэг нь бооцоо болон тоглолтын үе бүрд түүнээс хэдийг эрсдэлд оруулахаа шийдэхийг хэлнэ.Бүтнээр унших →тай үед дэвшилтэт бооцоолол хэзээ ч тасрахгүй гэсэн утгаараа “ажиллана”, гэхдээ хязгааргүй дүнгээр бооцоо тавьж, тэр хязгааргүй дүнгийн 2.70%-тай тэнцэх хүлээгдэж буй алдагдалтай байна. Ширээний хязгаарширээширээний хязгаарЗөвшөөрөгдөх хамгийн бага болон хамгийн их бооцоо. Хамгийн их хязгаар нь бооцоог хоёр дахин нэмэх дэвшилтэт бооцооллыг зогсоодог.Бүтнээр унших → МартингейлстратегиМартингейлАлдах бүрийн дараа бооцоогоо хоёр дахин нэмдэг дэвшилтэт бооцоолол. Юу хийж, юу хийдэггүйг Стратегийн хэсгээс үзнэ үү.Бүтнээр унших →-ийг ажиллахгүй болгодог зүйл биш. Тооцоо л тийм болгодог.
Бодит хоёр ширээ
Торпын жишээ нь $1-ын ширээ, $1,000-ын дээд хязгаартай: тоглогч нэг доллароор нэг удаа бооцоо тавин оройн хоолонд $30 хожно гэж найдна. 1, 2, 4 … 512 гэсэн дүн арван бооцоог зөвшөөрөх тул арван дараалсан хожигдол дэвшилтэт бооцооллыг тасална: Европ хүрд дээр 785 мөчлөг тутамд нэг удаа (Америк хүрд дээр 613 тутамд нэг удаа), $1,023-ын зардлаар. Гучин мөчлөг бүгд амжилттай болох магадлал 96.2%. Үлдсэн 3.8% нь ойролцоогоор $1,000 алдах бөгөөд оройн дундаж үр дүн −$9.17. Энэ нь гучин мөчлөгийн дундаж бооцооны дүн $339-ын яг 1/37 юм. $2,000-ын дээд хязгаартай $5-ын ширээ ч ялгаагүй: $1,280 хүртэлх бооцоо есөн бооцоог зөвшөөрч, Европ хүрд дээр 403 мөчлөг тутамд (Америк хүрд дээр 323 тутамд) тасарч, $2,555-ын зардал гарна.
Чинээлэг тоглогч
Бага хязгаарын оронд дэвшилтэт бооцоололд гүн тоглоомын сан өгье: 1,000 нэгж, нэгжийн эхний дүн, улаан дээр 1,000 эргэлт; дараагийн хоёр дахин нэмсэн дүн үлдсэн мөнгөнөөс их болох бүрд нэгжийн дүнгээс дахин эхэлнэ. Бид ийм нэг сая оройг симуляц хийсэн. Европ хүрд дээр 52% нь ашигтай дуусч, 21% нь бүхнээ алдаж, дундаж үр дүн −124 нэгж байна. ТэггүйхүрдтэгТэнцүү төлбөртэй, арван хоёрын, баганын аль ч бооцоонд хамрагддаггүй ганц ногоон нүх; казиногийн давуу талын эх үүсвэр. Мөн ганц тэг, 0 гэж нэрлэнэ.Бүтнээр унших → буюу бооцоо бүр нь шударга тоглоомд ч ердөө ойролцоогоор 60% нь ашигтай дуусна. Ердийн орой жижиг хожилтой; харин дундажийн үнийг тэгээр дуусдаг оройнууд төлдөг.
Сургамж
Казино өөрийн дисперсматематикДисперсҮр дүн хүлээгдэж буй утгын эргэн тойронд хэр өргөн тархаж байгааг хэмжих үзүүлэлт. Нэг тоон бооцоонд их, тэнцүү төлбөртэй бооцоонд бага.Бүтнээр унших →-ээ хязгаарлахын тулд хязгаар тогтоодог болохоос системийг зогсоохын тулд биш. Мартингейлийг няцаах нь тэдэнд таатай дагалдах үр нөлөө бөгөөд тооцоо ямар ч байсан түүнийг няцаана. Хязгаар бол асуудал гэж боддог тоглогч хадны ирмэгийг олсон ч налууг нь андуурчээ.
Томьёо
Асуултууд
Энэ нь илүү өндөр хязгаарт тэсэх боломж олгоно. Тэнд тасралт ховор ч илүү том байна. Доллар тутмын хүлээгдэж буй алдагдал өөрчлөгдөхгүй.
Бооцооны дүн 10, 30, 70, 150, 310: $500-ын хязгаарт таван хожигдлын дараа хүрч, тасрахад $570 алдана. Мөн л 2.70%.
Нэг тоглогч казиногийн нөөцөөс тухтай төлж чадах хэмжээнээс илүү бооцоо тавихаас сэргийлэхийн тулд. Дисперсийн удирдлага.
Математикийн бодлогууд
Эхлээд өөрөө бодоод үзээрэй. Шийдэл бүр нууцлагдсан тул бэлэн болмогцоо нээнэ үү.
МартингейлстратегиМартингейлАлдах бүрийн дараа бооцоогоо хоёр дахин нэмдэг дэвшилтэт бооцоолол. Юу хийж, юу хийдэггүйг Стратегийн хэсгээс үзнэ үү.Бүтнээр унших → улаанбооцооулаан18 улаан тоонд тавих тэнцүү төлбөртэй бооцоо. Францаар rouge.Бүтнээр унших →д $100-аас эхэлж, нэг мөчлөгт n-ээс олон бооцоо тавихгүй: дараалан n удаа алдвал зогсоод дахин эхэлнэ. Нэг мөчлөгийн дундаж үр дүнг n-ээр томьёолж, Европ рулетийн хүрдэн дээр 5, 6, 7 бооцоонд ол.
Шийдлийг харуулах
Хариулт Дундаж нь 100 × (1 − (38/37)ⁿ): 5 бооцоонд −$14.26, 6-д −$17.35, 7-д −$20.52. Илүү олон бооцоо зөвшөөрөх нь дундаж мөчлөгийг сайжруулах биш муутгана.
Бүх n бооцоо дараалан алдахгүй бол мөчлөг $100 хожно; бүгд алдах магадлал qⁿ, энд q = 19/37. Бүгд алдагдвал 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ бооцооны дүнгийн нийлбэр 100 × (2ⁿ − 1). Иймээс дундаж 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Энд 2q = 38/37, 1-ээс ялимгүй их тул (2q)ⁿ нь n-тэй өсөж, дундаж буурна: n = 5 үед 1.1426 ба −$14.26; n = 6 үед 1.1735 ба −$17.35; n = 7 үед 1.2052 ба −$20.52. Урт шатанд алдах нь 3.6%, 1.8%, 0.9% болж цөөрнө, гэхдээ алдагдал бүр хоёр дахин том, мөчлөг бүрт ширээ давсан мөнгө их, бооцоо бүрийн 2.70% болно.
Америк рулетийн хүрдэнд 2q = 40/38, тоонууд −$29.24, −$36.04, −$43.20 (Taylor, 2021). ТэгхүрдтэгТэнцүү төлбөртэй, арван хоёрын, баганын аль ч бооцоонд хамрагддаггүй ганц ногоон нүх; казиногийн давуу талын эх үүсвэр. Мөн ганц тэг, 0 гэж нэрлэнэ.Бүтнээр унших →гүй тоглоомд 2q = 1 бөгөөд шатны уртаас үл хамааран мөчлөг бүрийн дундаж яг тэг.
“Их Мартингейл” нь алдагдлын дараа бооцооны дүнг хоёр нугалж, нэг нэгжмөнгөнэгжСистем эсвэл тоглогчийн ашигладаг суурь бооцооны дүн. Дэвшилтэт бооцооллыг аль ч ширээнд хэрэглэхийн тулд нэгжээр илэрхийлдэг.Бүтнээр унших → нэмнэ. Ингэснээр 1, 3, 7, 15, 31 … болно. Эхний хожил 1, 2, 3 эсвэл k дахь бооцоонд ирвэл хэдэн нэгжийн ашигтай вэ? Нэгж нь $10, дээд хязгаар $500 үед мөчлөг хэр олон эвдрэх вэ, дунджаар хэдэн үнэтэй вэ?
Шийдлийг харуулах
Хариулт k дахь бооцоонд хожвол k нэгжийн ашигтай: +1, +2, +3 гэх мэт. $10 ба $500-д таван алдагдлын дараа мөчлөг 3.57% тохиолдолд эвдэрч, −$570 болно. Дунджаар мөчлөгт $85.73 тавиад $2.32 алдана, 2.70%.
k дахь бооцооны дүн 2ᵏ − 1 нэгж: 1, 3, 7, 15, 31. Эхний k − 1 дүнгийн нийлбэр 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. k дахь бооцоо 2ᵏ − 1 төлөх тул мөчлөг (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k нэгжийн ашигтай дуусна: өмнөх алдагдал бүрд нэг нэмэлт нэгж.
Нэгж $10 бол дүнгүүд $10, $30, $70, $150, $310; дараагийн $630 нь $500 хязгаараас давна. Дараалсан таван алдагдал (19/37)⁵ = 3.57%, 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 алдана.
Дундаж: k = 1–5 үед хожил $10 × k, магадлал нь (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37; эвдрэл $570-ыг 3.57% магадлалтай авна. Нийлээд −$2.32. Тавьсан мөнгөний дундаж нь мөчлөгт $85.73, 2.32/85.73 = 2.70%. Ижил ширээн дээрх энгийн Мартингейл зургаан алдагдлын дараа 1.83% мөчлөгт −$630 болж эвдэрч, $64.20 бооцоонд $1.74, мөн 2.70% алдана.
Тоглогч дээд хязгаар нь $1,000 ширээн дээр улаанд $1-ээс эхэлсэн Мартингейл төлөвлөжээ. Тэгэхээр $1, $2, $4 … $512 хүртэл арван бооцоо боломжтой. Нэг мөчлөгийн арван бооцоо бүгд алдах нь хэр олон вэ, дунджаар хэр хугацаа шаардах вэ, 200 бооцоотой орой ингэж дуусах нь хэр олон вэ?
Шийдлийг харуулах
Хариулт Нэг мөчлөг бүх арвыг ойролцоогоор 784-д нэг удаа алдаж, $1,023-ын үнэтэй. Дунджаар 1,600 бооцоо хэрэгтэй, 200 бооцоотой орой 11% орчимд хязгаарт тулна. Мөчлөгт дунджаар $11.31 тавиад $0.31 алдана, 2.70% хэвээр байна.
Улаан бооцоо тэгийг оруулаад 19/37 магадлалтай алдана. Арав дараалан: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, ойролцоогоор 784-д 1. 1 + 2 + 4 + … + 512 нь $1,023.
Мөчлөг дунджаар 2.05 бооцоо үргэлжилдэг тул 784 мөчлөгт 1,600 бооцоо орчим болно. Эргэлтээр тооцвол 200 бооцооны хаа нэгтээ арван алдагдал дараалах нь 11.3%.
Гамшгийн хооронд тоглогч мөчлөг бүрт $1 хожно: муу мөчлөгөөс өмнө $783 орчим, дараа нь −$1,023, нийт хугацаанд −$240 орчим. Мөчлөг тутам: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. Мөчлөгийн бооцооны дүн: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. −0.31/11.31 = −2.70%.
$500 хязгаарт $10-аас эхэлж, зургаан бооцоо тавих хувилбартай харьцуул: 55 мөчлөг тутамд нэг удаа хязгаарт тулж, 200 бооцоотой орой 84% тохиолдолд тэнд хүрнэ. Өндөр хязгаар уналтыг ховор, том болгодог болохоос хямд болгодоггүй.
Инээдмийн завсарлага
Хязгаар бүрд илүү ховор, илүү том. Үржвэр тогтмол.
Эх сурвалж
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.