Бодлого: Төрсөн өдрийн хүрд
Ямар нэг тоо давтагдахад хэдэн эргэлт хэрэгтэй вэ? Ихэнх хүний таамагласнаас хамаагүй цөөн.
37 нүхтоног төхөөрөмжнүхРотор дээрх 37 дугаарлагдсан тасалгааны нэг. Мөн үүр, хонхор гэж нэрлэнэ.Бүтнээр унших →тэй хүрд дээрх төрсөн өдрийн бодлого: ердөө 8 эргэлтийн дараа аль нэг тоо аль хэдийн хоёр удаа гарсан байх магадлал хагасаас их байдаг. Тоглогчид давталтыг хэв маяг гэж хардаг; шударга хүрдний хувьд энэ нь хүлээгддэг үзэгдэл юм.
Бодлого
Шударга Европ хүрдийг эргүүлнэ. Хоёр эргэлтэд ижил тоо гарсан байх магадлалматематикмагадлалҮр дүн гарах боломж; 0-ээс 1, эсвэл 0%-аас 100% хүртэл илэрхийлнэ. Нэг тооны магадлал: 1/37 = 2.70%.Бүтнээр унших → хэзээ хагасаас давах вэ? Ихэнх тоглогч 37-гийн тал орчим болох 18 эсвэл 19 гэж таадаг. Хариу нь 8.
Шийдэл
Давталтгүй байх магадлалыг тооцоод нэгээс хасна. k эргэлтийн дараа p(бүгд өөр) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). k = 8 үед: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44, тэгэхээр p(ямар нэг давталт) ≈ 0.56. k = 14 үед 0.93; k = 20 үед 0.996 байна. Эргэлтийн хосын тоо k²-оор өсөж, ямар ч хос таарч болох тул зөн совин энд алддаг.
Яагаад ширээний дэргэд чухал вэ
Сүүлийн 20 тооны үр дүнгийн самбарт бараг үргэлж дор хаяж нэг давталт, олонтаа хоёр эсвэл гурав харагдана. Тоглогчид “17 арван эргэлтэд хоёр удаа гарлаа” гэж хараад 17 халуун байна гэж дүгнэдэг; төрсөн өдрийн бодлогоор арван эргэлтийн дотор давталт гарах нь 74%-ийн магадлалтай бөгөөд давтагдсан тоо санамсаргүй. Хэв маяг нь бодит; харин түүнд утга байхгүй.
Дараагийн бодлого
Тодорхой нэг тоо, жишээ нь 17, хоёр удаа гарахад хэдэн эргэлт хэрэгтэй вэ? Энэ бол хариу нь илүү том өөр асуулт: хүлээгдэж буй хугацаа 74 эргэлт бөгөөд 20 эргэлтийн дотор 17 хоёр удаа гарах магадлал ойролцоогоор 10%. “Ямар нэг тоо давтагдах” (8 эргэлт) болон “энэ тоо давтагдах” (74 эргэлт)-ын ялгаа нь дараа нь анзаардаг хэв маяг ба урьдчилан гаргадаг таамгийн хоорондох бүхэл ялгаа юм.
Өөрөө туршиж үз
Демо тоглоомыг арван эргэлтээр ажиллуулаад түүхийг харна уу. Ихэвчлэн давталт гарсан байдаг. Дахин ажиллуулна уу. Давтагдсан тоо өөр байна. Үүнийг арван удаа хийвэл төрсөн өдрийн бодлогоматематиктөрсөн өдрийн бодлогоХоёр хүн төрсөн өдрөө давхцуулах магадлалтай болохын тулд хэдэн хүн хэрэгтэйг, эсвэл тоо давтагдах магадлалтай болохын тулд хэдэн эргэлт хэрэгтэйг авч үздэг бодлого. 37 нүхтэй хүрдэнд 8 эргэлт хангалттай.Бүтнээр унших →-ыг харсан байна; мянган удаа хийвэл (симуляторууд чадна) түүнийг хэмжсэн байна.
Томьёо
Асуултууд
Тийм ээ, 365 өдрийн оронд 37 нүхтэй гэсэн үг. Төрсөн өдрөөр 23 хүн 50%-д хүргэдэг бол хүрд дээр 8 эргэлт 56%-д хүргэнэ.
Ойролцоогоор 19 эргэлтийн дараа 50%. Мөн л ердийн үзэгдэл.
Үгүй. Нэг хүрдний мянга мянган эргэлт тийм сэжиг төрүүлж болно; харин нэг давталт хэзээ ч тийм биш.
Математикийн бодлогууд
Эхлээд өөрөө бодоод үзээрэй. Шийдэл бүр нууцлагдсан тул бэлэн болмогцоо нээнэ үү.
Америк хүрдний дэргэдэх үр дүнгийн самбарт сүүлийн 16 эргэлт харагдана. Тэнд нэг ч тоо хоёр удаа гараагүй байх магадлал хэд вэ?
Шийдлийг харуулах
Хариулт Ойролцоогоор 2.5%: 40 самбарын бараг 39-д дор хаяж нэг давталт байна.
Эргэлт бүрээр харъя. Эхний эргэлт юу ч байж болно. Хоёр дахь нь түүнийг алгасах ёстой: 38-аас 37 боломж. Гурав дахь нь хоёуланг алгасна: 38-аас 36. Арван зургаа дахь нь арван таван тоог алгасна: 38-аас 23.
Үржүүлэхэд: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
Давталтгүй самбар л ховор. Давталттай самбар хүрдийн талаар юу ч хэлэхгүй.
Европ хүрдний арван эргэлтэд 17 яг таван удаа гарах магадлал хэд вэ? Ямар нэг тоо тав ба түүнээс олон удаа гарах нь? Дөрвөн эргэлтэд ямар нэг тоо дор хаяж гурван удаа гарах нь?
Шийдлийг харуулах
Хариулт 17 яг таван удаа: 315,576-д 1. Ямар нэг тоо тав ба түүнээс олон удаа: ойролцоогоор 8,333-д 1. Дөрвөн эргэлтэд ямар нэг тоо гурваас олон: 349-д 1.
17 таван удаа: арван эргэлтээс аль тав нь болохыг сонгох 252 арга, тус бүр (1/37)⁵ × (36/37)⁵ магадлалтай. Нийлээд 315,576-д 1.
Ямар нэг тоо: 37 тоо тус бүр тав ба түүнээс олон цохилтын 308,325-д 1 магадлалтай. Энэ нь 308,325-аас 37 буюу 8,333-д 1 болно. Хоёр тоо тус бүр таван удаа гарсан ховор тохиолдлыг хоёр удаа тоолдог ч энэ нарийвчлалд ялгаагүй.
Дөрвөн эргэлтэд гурван удаа: нэг тоонд 37⁴ боломжит үр дүнгээс 4 × 36 + 1 = 145; аль ч 37 тоонд 145/37³ = 349-д 1.
Хоёр тэгтэйхүрдтэгТэнцүү төлбөртэй, арван хоёрын, баганын аль ч бооцоонд хамрагддаггүй ганц ногоон нүх; казиногийн давуу талын эх үүсвэр. Мөн ганц тэг, 0 гэж нэрлэнэ.Бүтнээр унших → хүрдэнд харгалзах тоо нь 359,275-д 1, 9,243-д 1, 368-д 1. “17” ба “ямар нэг тоо”-ны зөрүү нь төрсөн өдрийн бодлогоматематиктөрсөн өдрийн бодлогоХоёр хүн төрсөн өдрөө давхцуулах магадлалтай болохын тулд хэдэн хүн хэрэгтэйг, эсвэл тоо давтагдах магадлалтай болохын тулд хэдэн эргэлт хэрэгтэйг авч үздэг бодлого. 37 нүхтэй хүрдэнд 8 эргэлт хангалттай.Бүтнээр унших → дахин: гайхах 37 боломж бий.
Инээдмийн завсарлага
Ямар нэг зүйл эрт давтагдана. Тэр зүйл нь санамсаргүй.
Эх сурвалж
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, рулетийн асуултууд.