Ер бусын рулетийн хүрдүүд
18, 25, 26, 31, 40, 49, 62, 73 эсвэл 105 нүхтэй хүрдүүд. Бараг бүгдийг нь нэг дүрмээр үнэлж болно: төлбөрт тооцогддоггүй казиногийн нүхний эзлэх хувь.
Төлбөрийг казиногийн нүх байхгүй мэт тогтоовол казиногийн давуу талматематикказиногийн давуу талКазино нэг бооцооны дүнгээс дунджаар авч үлддэг хувь. Европ рулетэд 2.70% байна.Бүтнээр унших → нь хүрдний хэмжээнээс үл хамааран казиногийн нүхийг нийт нүхэнд хуваасантай тэнцэнэ. Ер бусын хүрдүүдийн ихэнх нь энэ дүрмийг дагадаг. Харин сонирхолтой нь түүнээс гаждаг: бүхэлчилсэн төлбөр, урамшууллын үе эсвэл хэд хэдэн эргэлтэд хүчинтэй үлддэг бооцоо.
Бүх хүрдэнд үйлчлэх нэг дүрэм
Европ рулетхувилбарЕвроп рулетНэг тэгтэй, 37 нүхтэй, казиногийн давуу тал нь 2.70% байдаг хүрд. Энэ сайтын суурь загвар.Бүтнээр унших → нь хүрд 36 нүхтэйтоног төхөөрөмжнүхРотор дээрх 37 дугаарлагдсан тасалгааны нэг. Мөн үүр, хонхор гэж нэрлэнэ.Бүтнээр унших → мэт 35:1 төлдөг. Угтаа 37 нүхтэй бөгөөд дутуу тооцогдсон нүх нь 2.70%-ийн давуу тал юм. Энэ дүрэм аль ч хүрдэнд үйлчилнэ: N тоо, Z казиногийн нүхтэй үед n тоог хамарсан, (N − n)/n:1 төлдөг бооцооны давуу тал Z/(N + Z) байна. Ийм дүрмээр бүх хэмжээтэй хүрд хийсэн эсвэл санал болгосон бөгөөд хүснэгт тэднийг үнээр нь эрэмбэлжээ. Мөрүүдэд Австралийн Royal Roulette тоглоомыг хэрхэн тоглох үндсийг ч өгнө: тоонууд нь 2-оос хаан хүртэлх хөзөр, казиногийн хоёр нүх нь туз ба жокер, нэг хөзөр 47:1 төлнө.
Том нь хямд байж болно
Тоглогчид 62 нүхтэй хүрдийг илүү хол магадлалтай гэж ойлгон, муу тоглоом гэж таамагладаг. Давуу тал нь зөвхөн казиногийн нүхний хувиас хамаарна. Super 62 нь Америк хүрдний адил хоёр тэгтэйхүрдтэгТэнцүү төлбөртэй, арван хоёрын, баганын аль ч бооцоонд хамрагддаггүй ганц ногоон нүх; казиногийн давуу талын эх үүсвэр. Мөн ганц тэг, 0 гэж нэрлэнэ.Бүтнээр унших → ч 38 нүхний 2 биш, 62 нүхний 2 тул өртөг нь 5.26%-ийн оронд 3.23%. 72 тоо, нэг тэгтэй Roulette 73-ийн өртөг 1.37% байх бөгөөд Францын тэнцүү төлбөртэй бооцоотой ойролцоо. Жижиг хүрд дээр энэ дүрэм эсрэгээрээ үйлчилнэ. Bollman 1-16, 0 ба 00 гэсэн 18 нүхтэй эртний хүрдийг дүрсэлсэн. Дүрмээр бооцоо бүрийн өртөг 2/18 буюу 11.11% болно: хоёр казиногийн нүх нь жижиг хүрдний ихээхэн хувийг эзэлнэ.
Дүрэм алдагдах нь: бүхэлчилэлт
ТөлбөрмөнгөтөлбөрХожсон бооцоонд буцаж олгох дүн; буцаан олгох бооцооны дүн дээр нэмэгдсэн “X:1” харьцаагаар илэрхийлнэ.Бүтнээр унших → нь боломжийн жетонымөнгөжетонТогтмол дүнг илэрхийлдэг, бооцоо тавихын тулд бооцооны хүснэгт дээр байрлуулдаг тэмдэг. Чек гэж ч нэрлэнэ.Бүтнээр унших → дүн байх ёстой бөгөөд дүрмээр бутархай гарвал казино доош нь бүхэлчилнэ. 100 To 1 Roulette-ийн Avenue бооцоо 15 нүх хамарч, 5⅔:1 төлөх ёстой ч 11:2 төлдөг; ингэснээр давуу тал 4.76%-аас 7.14% болно. Super 62 дээр 6 цифр агуулсан долоон тоо (6, 16, 26, 36, 46, 56, 60) бий бөгөөд тэр цифрт тавьсан бооцоо 7:1 төлөх нь 9.68% буюу бооцооны хүснэгтийнтоног төхөөрөмжбооцооны хүснэгтШирээн дээр хэвлэсэн бооцооны тор. Ширээ, ногоон эсгий, даавуу гэж ч нэрлэнэ.Бүтнээр унших → бусад хэсгээс гурав дахин их болгоно. Riverboat Roulette-ийн White бооцоо 8 тоог 7:2-оор хамарна; 50 центын жетонгүй ширээнд $5 хожсон тоглогчид $17.50 биш $17 төлөх нь давуу талыг 5.26%-аас 7.37% болгоно. Америкийн таван тоон бооцооны 7.89% нь үүний танил жишээ.
Дүрэм алдагдах нь: урамшуулал
2020 онд Marina Bay Sands-д нэвтрүүлсэн Fast Action Roulette нь дөрвөн тэгтэй жинхэнэ хүрд ашигладаг бөгөөд дангаараа 10%-ийн өртөгтэй. Эргэлт бүрд арван Bonus тоо санамсаргүйгээр асна. Нэг тоон бооцообооцоонэг тоон бооцооНэг тоон дээр тавих бооцоо, 35:1 төлнө.Бүтнээр унших → 35:1, тухайн тоо Bonus тоо бол 40:1, дөрвөн тоотой бүхэл мөр нь Bonus бол 80:1 төлж, өртөг нь 6.65% болдог. Тоглоомын бусад гурван бооцооны өртөг үүнээс хавьгүй их. IGT-ийн Double Bonus Spin нь Америк хүрдэнд нэг хагас нүхний өргөнтэй шар Bonus нүх нэмдэг; бөмбөгтоног төхөөрөмжбөмбөгРоторын эргэлтийн эсрэг зам дагуу шиддэг жижиг бөмбөг. Орчин үеийн бөмбөгийг иворин эсвэл тефлоноор хийдэг бөгөөд 18–21 мм хэмжээтэй.Бүтнээр унших → тэнд буухад бүх бооцоо хоёр үнэгүй эргэлт авна. Бидний тооцоогоор энэ нь давуу талыг нэг тоон бооцооны 1.94%-аас тэнцүү төлбөртэй бооцооны 2.73% хүртэл бууруулж, энгийн Америк хүрднээс доогуур болгоно. Bollman (2021) энэ тоглоомд 3%-аас 16% гэж бичсэн; түүний хялбарчилсан томьёонд алгебрын алдаа байгаа бөгөөд тэнцүү төлбөртэй бооцоондбооцоотэнцүү төлбөртэй бооцооУлаан/хар, сондгой/тэгш, их/бага гэсэн бооцоо. 18 тоог хамарч, 1:1 төлнө.Бүтнээр унших → үнэгүй эргэлт бооцооны дүнгээс их алдагдал авчирна гэж гардаг нь боломжгүй.
Дүрэм алдагдах нь: хүчинтэй үлддэг бооцоо
Riverboat Roulette (2012) нь Америк хүрдний 32 тоонд хоёр дахь өнгө өгсөн. White нь тэг тус бүрийг тойрсон дөрвөн нүхийг (1, 2, 9, 10, 13, 14, 27, 28) тэмдэглэнэ. Өнгөний бүлэгт тавьсан бооцоо түүний нэг тоо найман White тооны нэгээс өмнө гарах үед хожно. White тоо нь бүх өнгөний бооцоог цэвэрлэдэг “White Out” юм. Бусад бүх тоо нь тэнцээ: бооцоо хүчинтэй үлдэж, эргэлтүүдийн хооронд буулгах эсвэл нэмэгдүүлэх боломжтой. Teal нь гурван тоог хамарч 2:1 төлнө. Шийдэгдсэн бооцоо тутамд бооцооны дүнгийн 2/11 буюу 18.18% алдана. Нэг эргэлтэд 2/38 буюу танил 5.26% алдана. Учир нь дундаж бооцоо 38/11, ойролцоогоор 3.5 эргэлт хүчинтэй үлддэг.
Thorp-ын тааж чадсан хүрд: Big Six
Big Six буюу азын хүрд нь 54 нүдтэй том босоо хүрд юм: 24 нь 1:1, 15 нь 2:1, долоо нь 5:1, дөрөв нь 10:1, хоёр нь 20:1, хоёр логоны нүд нь 40:1 төлнө. Тэг байхгүй; казино бага төлбөрөөр өөрийн хувийг авдаг бөгөөд давуу тал нь 1:1 төлдөг нүдэнд 11.1%-аас логон дээр 24.1% хүртэл байна. Thorp 1961 онд хөлийн унтраалгаар ажилладаг, шүдэнзний хайрцагны хэмжээтэй таамаглагч хийж, 1981 онд казиногийн хүрдний нэг эргэлтийг бугуйн цагаар хугацаалснаар зогсох цэгийг ихэвчлэн таван нүдний дотор нэрлэж чаддагаа тогтоосон. Таамаглалын ойролцоох өндөр төлбөртэй нүдэнд л бооцоо тавьсан бол бооцоог хүрд эргэсний дараа авдаг нөхцөлд ойролцоогоор +211% буцаах байв. Гэвч тэд бооцоог тэгж авдаггүй бөгөөд хүрд удаан, бүгдийн нүдэн дээр эргэдэг тул оройтсон бооцоо илт байх байв; Thorp тоглоомд үүнийг нуух үйл явдал дэндүү цөөн гэж бичжээ.
Яагаад цөөн нь амжилтад хүрдэг вэ
Мэргэжлийн хүрд хэдэн мянган долларын үнэтэй бөгөөд ер бусын тооны нүхтэй хүрдийг захиалж хийлгэх ёстой. Тиймээс шинэ рулет тоглоомуудын ихэнх нь стандарт хүрдийг хадгалж, бооцоо нэмдэг нь хажуугийн бооцооны хуудас энэ хуудаснаас урт байдгийн шалтгаан юм. 19-р зууны Америкийн 31 нүхтэй бүргэдтэй хүрд нэг тоон дээр 12.90%, бусад бүх бооцоонд 9.68%-ийн өртөгтэй байсан тул үнээсээ болж өөрөө мөхсөн. Гурав дахь казиногийн нүхний санаа 2016 онд 39 нүхтэй хүрд дээр эргэн ирж, өртөг нь 7.69% болсон.
Асуултууд
Дангаараа тийм биш. Давуу тал нь казиногийн нүхний эзлэх хувь: 73 тутмын 1 нь 37 тутмын 1-ээс хямд.
Roulette 73 нь 1.37%-тай ч тааралдах магадлалтай ширээ биш, нийтлэгдсэн загвар юм. Тоглогчдод санал болгож байсан хүрдүүдээс Европ болон Францын дараа 3.23%-тай Super 62 орно.
Урамшууллын үнийг төлөх ёстой бөгөөд үүнийг ихэвчлэн үндсэн төлбөрийг бууруулах, эсвэл өндөр давуу талтай тусдаа бооцоогоор нөхдөг.
Математикийн бодлогууд
Эхлээд өөрөө бодоод үзээрэй. Шийдэл бүр нууцлагдсан тул бэлэн болмогцоо нээнэ үү.
Австралид бүтээсэн Royal Roulette нь 2-оос хаан хүртэлх 48 хөзөр, нэг ац, нэг жокер гэсэн 50 нүхтэйтоног төхөөрөмжнүхРотор дээрх 37 дугаарлагдсан тасалгааны нэг. Мөн үүр, хонхор гэж нэрлэнэ.Бүтнээр унших →. Нэг хөзөр 47:1, хоёр нь 23:1, гурав нь 15:1, дөрөв нь 11:1, зургаа нь 7:1, найм нь 5:1, арван хоёр нь 3:1, арван зургаа нь 2:1, хорин дөрөв нь 1:1 төлнө. Эдгээр төлбөрмөнгөтөлбөрХожсон бооцоонд буцаж олгох дүн; буцаан олгох бооцооны дүн дээр нэмэгдсэн “X:1” харьцаагаар илэрхийлнэ.Бүтнээр унших →ийг ямар дүрэм гаргаж байна, бооцоо бүрийн өртөг хэд вэ?
Шийдлийг харуулах
Хариулт n хөзөр дээрх бооцоо 1-д (48 − n)/n төлнө. Иймээс бооцоо бүр 2/50 = 4%-ийн өртөгтэй.
Дүрмийг хэдэн бооцоонд шалгая: 47/1 = 47, 36/12 = 3, 32/16 = 2, 24/24 = 1. Есөн бооцоонд бүгд таарна. Дүрэм хүрдийг 48 нүхтэй мэт үнэлдэг учир ац, жокер нь Америк хүрдний 0, 00 шиг казиногийн хоёр нүх болно.
50-аас казиногийн хоёр нүх нь 4%-ийн давуу талтай. “Европ” хувилбар нь жокерыг авч, төлбөрийг хэвээр үлдээнэ: 49-өөс казиногийн нэг нүх буюу 2.04%.
Super 62-д сонгосон цифр хожсон тоонд гарна гэсэн бооцоо бий. Энгийн Америк хүрдэнд ийм бооцоо зохиоё. 1-ээс 36 хүртэлх хэдэн тоонд цифр бүр байдаг вэ, ердийн 5.26%-ийг хадгалах ямар төлбөр хэрэгтэй вэ?
Шийдлийг харуулах
Хариулт Зөвхөн 3 эсвэл 4 тоотой цифр цэвэр бүхэл төлбөртэй (11:1 ба 8:1). 1, 2, 3 цифрт шударга бүхэл жетонмөнгөжетонТогтмол дүнг илэрхийлдэг, бооцоо тавихын тулд бооцооны хүснэгт дээр байрлуулдаг тэмдэг. Чек гэж ч нэрлэнэ.Бүтнээр унших →оор төлж болохгүй.
Тоонуудыг тоолъё. 1 нь 1, 10-19, 21, 31-д буюу 13 тоонд байна. 2 мөн 13, 3 нь 10 тоонд байна. 4, 5, 6 нь тус бүр дөрвөн тоонд (4, 14, 24, 34), 7, 8, 9 нь тус бүр гурван тоонд байна.
n тоон дээрх бооцоо Америкийн давуу талыг хадгалах бол (36 − n)/n:1 төлнө. Дөрвөн тоонд 8:1, гурван тоонд 11:1 болж, хоёулаа бүхэл. 13 тоонд 23/13 буюу ойролцоогоор 1.77:1, 10 тоонд 2.6:1 болно. 1.77-г доош 7:4 болговол 5.92%; дээш 2:1 болговол тоглогч 2.63%-ийн давуу талтай. 2.6-г доош 5:2 болговол 7.89% болно.
0 цифр сонголттой: 10, 20, 30 дангаараа 11:1, 5.26%; 0, 00-ийг нэмбэл сагсбооцоосагсны бооцооНэг тэгтэй хүрдэнд 0, 1, 2, 3 дээр нэг жетон тавих бооцоо; 8:1 төлнө. Анхны дөрөв, quatre premiers гэж ч нэрлэнэ.Бүтнээр унших → шиг 6:1, 7.89%-ийн таван тоон бооцоо болно.
цифртоонууддүрмийн дагуутөлж болох ньказиногийн давуу тал1, 2131-д 1.777:45.92%3101-д 2.65:27.89%4, 5, 641-д 81-д 85.26%7, 8, 931-д 111-д 115.26%100 To 1 Roulette нь 100 тоо, казиногийн 5 тэмдэгтэй хүрдэнд ихэнх бооцоонд 1-д (100 − n)/n төлнө. Түүний бооцоо 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20, 50 нүх хамарч 1-д 100, 49, 32, 24, 19, 9, 11/2, 4, 1 төлнө. Нэг тоонбооцоонэг тоон бооцооНэг тоон дээр тавих бооцоо, 35:1 төлнө.Бүтнээр унших → болон 15 нүхтэй Avenue бооцоо дүрмийг зөрчинө. Өөр аль бооцоо зөрчих вэ, өртөг нь хэд вэ?
Шийдлийг харуулах
Хариулт Гурван нүхтэй бооцоо: дүрмээр 32⅓:1 байх ёстой ч 32:1 төлнө. Иймээс 4.76%-ийн оронд 5.71%.
Төлбөр бүрийг дүрэмтэй шалгая: 98/2 = 49, 96/4 = 24, 95/5 = 19, 90/10 = 9, 80/20 = 4, 50/50 = 1 бүгд таарна. Гурван нүхэнд 97/3 = 32⅓ гарна. Ямар ч жетон тэгж төлж чадахгүй тул 32 болгож доошлуулжээ.
Бооцоо 105 эргэлтээс 3-д хожоод бооцооны дүн багтаасан 33 нэгжмөнгөнэгжСистем эсвэл тоглогчийн ашигладаг суурь бооцооны дүн. Дэвшилтэт бооцооллыг аль ч ширээнд хэрэглэхийн тулд нэгжээр илэрхийлдэг.Бүтнээр унших → буцаана: 3 × 33 = 99 нэгжийг 105 бооцоонд буцаах тул 6/105 = 5.71%-ийн алдагдал.
Нийтлэгдсэн загвар Roulette 73 нь 72 тоо, нэг тэгтэйхүрдтэгТэнцүү төлбөртэй, арван хоёрын, баганын аль ч бооцоонд хамрагддаггүй ганц ногоон нүх; казиногийн давуу талын эх үүсвэр. Мөн ганц тэг, 0 гэж нэрлэнэ.Бүтнээр унших → бөгөөд бооцоо бүр 1-д (72 − n)/n төлнө. Саарал 24 тоог 14 жетон: 4 нэг тоон, 10 хоёр тоонбооцоохоёр тоон бооцооЗэргэлдээ хоёр тоонд тавих бооцоо, 17:1 төлнө.Бүтнээр унших → бооцоогоор хамарч болно. Энэ 14 жетоны бооцооны өртөг хэд вэ?
Шийдлийг харуулах
Хариулт Тэр хүрдний бусад бооцооны адил 14 жетоны 1.37%.
Урт аргаар: нэг тоон бооцоо 71:1, хоёр тоон бооцоо 35:1 төлнө. 4 нэг тооны аль нэг гарвал 71 хожиж бусад 13 жетоныг алдана: +58. 20 хоёр тооны аль нэг гарвал +35 − 13 = +22. Үлдсэн 49 нүхэнд 14-өө бүгдийг алдана. 73 эргэлтийн дундаж: 4 × 58 + 20 × 22 − 49 × 14 = 232 + 440 − 686 = −14 нэгж. Энэ нь жетон бүрийн 1/73.
Богино аргаар: Хүлээгдэж буй утгуудматематикхүлээгдэж буй утгаУрт хугацаанд нэг бооцоонд ногдох дундаж үр дүн. Стандарт Европ бооцоо бүрд бооцооны дүнгийн −1/37-той тэнцэнэ.Бүтнээр унших → нэмэгддэг. Жетон бүр өөрийнхөө 1/73-ыг алддаг энгийн бооцоо тул 14 жетон 14/73 алддаг. Бооцоог нэгтгэх нь үр дүнгийн тархалтыг л өөрчилнө, өртгийг нь биш.
Super 62 нь 60 тоо, 0, 00-той бөгөөд 1-д (60 − n)/n төлнө. Зохион бүтээгчид нь мөн нэг, гурав, дөрвөн казиногийн нүхтэйгээр зурсан. Alphabetic Roulette 25 нүхэнд 1-д (24 − n)/n төлнө, Y ба Z тусдаа нүхтэй хувилбартай. Таван хувилбарын үнийг ол.
Шийдлийг харуулах
Хариулт Нэгээс дөрвөн тэгтэй нь: 1.64%, 3.23%, 4.76%, 6.25%. Y ба Z тусдаа Alphabetic нь 7.69%.
Эдгээр нь төлбөрөө хадгалж, зөвхөн казиногийн нүхний тоог өөрчилдөг. Иймээс давуу тал нь казиногийн нүх ÷ нийт нүх.
Нэг тэг, 61 нүх: 1/61 = 1.64%. Хоёр, 62 нүх: 2/62 = 3.23%. Гурав, 63 нүх: 3/63 = 4.76%. Дөрөв, 64 нүх: 4/64 = 6.25%. Нэмсэн тэг бүр ойролцоогоор нэг хагас нэгж хувийн өртөг нэмнэ.
Alphabetic нь 24 үсэгтэй мэт төлнө. Y ба Z нэг нүх хуваавал казино 25-аас 1 буюу 4%-тай. Тусдаа бол 26-аас 2 буюу 7.69%, гурван тэгтэй хүрдтэй адил. Нэг нүхийг хоёр болгох нь үнийг бараг хоёр дахин өсгөжээ.
хүрднүхнүүдказиногийн нүхказиногийн давуу тал60 тоо, нэг тэг6111.64%Super 626223.23%60 тоо, гурван тэг6334.76%Super 646446.25%Alphabetic2514.00%Alphabetic, Y ба Z тусдаа2627.69%Эртний хүрд 1-16, 0, 00 гэсэн 18 нүхтэй. Сондгой тоо ба 0 нь улаанбооцооулаан18 улаан тоонд тавих тэнцүү төлбөртэй бооцоо. Францаар rouge.Бүтнээр унших →, тэгш тоо ба 00 нь харбооцоохар18 хар тоон дээрх тэнцүү төлбөртэй бооцоо. Францаар: noir.Бүтнээр унших →, 16 тоо нь 4-ийн 4 бооцооны хүснэгттоног төхөөрөмжбооцооны хүснэгтШирээн дээр хэвлэсэн бооцооны тор. Ширээ, ногоон эсгий, даавуу гэж ч нэрлэнэ.Бүтнээр унших → дээр байна. Бооцоо бүрд адил давуу тал өгөх төлбөрийн хүснэгтмөнгөтөлбөрийн хүснэгтБооцоо, үр дүн бүрийн төлбөрийг жагсаасан хүснэгт. Машин болон хажуугийн бооцоонд казиногийн давуу талыг энд тогтоодог.Бүтнээр унших → зохио. 0 улаан атлаа яагаад улаан бооцоог хожигдуулах ёстой вэ?
Шийдлийг харуулах
Хариулт (16 − n)/n:1 төлнө: нэг тоонд 15:1, хоёрт 7, дөрөвт 3, наймд 1. Бооцоо бүр 11.11%-ийн өртөгтэй. 0 улаан бооцоог хожвол улаан шударга бооцоо болно.
Хүрдийг 0, 00 байхгүй мэт үнэл. n тоон бооцоо 18-аас n удаа хожиж, (16 − n)/n:1 төлнө. Ингэснээр 18 бооцоо тутам бооцооны дүн багтаасан 16 нэгж буцааж, бүх бооцоо 2/18 буюу 11.11%-ийн өртөгтэй.
Хүснэгтийн энгийн бооцоонууд бүхэл гарна: нэг тоо 15:1, зэрэгцээ хоёр тоо 7:1, нэг мөр эсвэл дөрвөн тооны баганабооцообаганын бооцооБооцооны хүснэгтийн нэг босоо баганад байрлах арван хоёр тоон дээрх бооцоо; 2:1 төлнө.Бүтнээр унших → 3:1, хоёр мөр эсвэл сондгой, тэгш, бага, их найман тоо 1:1. Гурван тоо 4⅓:1 шаарддаг; 4:1 болгон доошлуулбал 16.67%.
Улаан нь найман сондгой тоог хамарна. Хэрэв улаан 0 бас хожвол улаан 18 нүхнээс 9-ийг 1:1-ээр хамарна: казиногийн давуу талгүй шударга тоглоомматематикшударга тоглоомАль ч талд давуу тал байхгүй тоглоом: бооцоо бүрийн хүлээгдэж буй утга тэг байна.Бүтнээр унших → болно. Казиногийн нүх өөрсөд дээрээ тавьсан бооцооноос бусдыг бүгдийг нь хожигдуулж байж л давуу талаа олдог.
Инээдмийн завсарлага
Казиногийн нүхийг тоолоод, дараа нь бүхэлчилснийг хар.
Эх сурвалж
- Bollman, M. Казиногийн ширээний дөрвөн том тоглоомын математик: Блэкжек, баккара, крэпс ба рулет.
- Ethier, S. N. Магадлалын онол: мөрийтэй тоглоомын магадлалын талууд.
- Thorp, E. O. Мөрийтэй тоглоомын математик.
- Thorp, E. O. “Анхны зүүдэг компьютерийг зохион бүтээсэн нь.”